9.2 二重积分的计算

直角坐标系下的计算

正则区域上的二重积分

正则区域

若二重积分的积分区域可表示为

$$D=\{(x,y)|{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x),a\le x\le b\}$$

其中 ${\phi }_1,{\phi }_2\in C[a,b]$, 则称区域 $D$ 是 $x$ 型正则区域

推导过程

$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$, 用平面 $x=x$ 截取曲顶柱体

$$A(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$

于是曲顶柱体的体积可以表示为多个 “切片” 的积分

$$V={\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x$$

$x$ 型正则区域 $D$ 上的二重积分公式:

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_a^b[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x$$

右侧成为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分

• 先把 $x$ 看作常数, 对 $y$ 求积分, 得到 $A(x)$
  • 事实上就是反向偏导
• 再对 $A(x)$ 计算在 $[a,b]$ 上的定积分

也可以写成

$${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$$

对于 $y$ 型正则区域, 先对 $x$ 后对 $y$ 求累次积分

计算技巧

交换积分次序

对于难以求出的积分, 将正则区域表示出来, 并把它表示成另一种正则区域再积分

利用奇偶性

利用被积函数的奇偶性简化计算

1. 当积分区域关于 $x$ 轴对称时, 若 $f(x,-y)=-f(x,y)$, 则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =0$$若 $f(x,-y)=f(x,y)$, 则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$
   • $D_1$ 为 $D$ 在 $x$ 轴上侧或下侧的部分
2. 当积分区域关于 $y$ 轴对称时, 若 $f(-x,y)=-f(x,y)$, 则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =0$$若 $f(-x,y)=f(x,y)$, 则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =2\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$
   • $D_1$ 为 $D$ 在 $y$ 轴左侧或右侧的部分
3. 当积分区域关于原点对称时, 若 $f(-x,-y)=-f(x,y)$, 则$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =0$$

极坐标系下的计算

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D}{\iint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

$\mathit{\theta }$ 正则区域: $D$ 由射线 $\theta =\alpha ,\theta =\beta$, 曲线 $r=r_1(\theta ),r=r_2(\theta )$ 围成

$$D=\{(r,\theta )\mid r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta ),\alpha \le \theta \le \beta \}$$$$\underset{D}{\iint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r$$

拆分二次积分为两个积分的乘积

若满足以下条件, 则二次积分可以拆分

1. $F(x,y)=f(x)\cdot g(y)$
2. 二次积分的自变量各自的上下限均为常数

$${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_c^{d}F(x,y)\mathrm{d}y={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\cdot {\int }_c^{d}g(y)\mathrm{d}y$$

[!!attention:重点] 二重积分的变量代换

思想: 化曲为直

设变换 $T:x=x(u,v),y=y(u,v)$ 将 $uOv$ 平面上的有界闭区域 $D^{\prime }$ 一一对应地变换为 $xOy$ 平面上的有界闭区域 $D$, 且满足

1. $x(u,v),y(u,v)\in C^1(D^{\prime })$ (在 $D^{\prime }$ 有连续一阶偏导数的函数集)
2. 雅可比行列式 $J={\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|\ne 0$
3. $f(x,y)\in C(D)$

则有

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D^{\prime }}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$